Произведение матриц

Определение. Матрицу C, элементы которой выражаются через элементы матрицы A и B по формуле  , назовем произведением A на B и обозначим AB.

Если матрицу В записать как строку из столбцов, то произведение АВ запишется как строка из столбцов так:

АВ=A. (1)

Пример 1. Произведение строки длины m на матрицу B размеров mn будет строкой длины n: =.

Предложение 1. J-й столбец матрицы AB есть линейная комбинация столбцов матрицы A с коэффициентами равными элементам j-го столбца матрицы B. i-я строка матрицы AB есть линейная комбинация строк матрицы B с коэффициентами, равными элементам i-й строки матрицы A.

Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем первое. Мы видели, что i-й столбец произведения есть произведение A на i-й столбец В (формула (1)). Но произведение матрицы A на столбец – это линейная комбинация столбцов A с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов.

Свойства умножения матриц.

Если какие-нибудь две матрицы А и В удовлетворяют равенству АВ=ВА, то они называются перестановочными. Единичная матрица порядка n  перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка: АЕ=ЕА=А.

Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполнено равенство (АВ)С=А(ВС).

Пусть размеры матриц А, В и С соответственно равны и  Если АВ определено, то , и матрица АВ имеет размеры . Поэтому, если определено (АВ)С, то . Матрица АВ состоит из элементов  (i=1, …,; l=1, …, ) и, следовательно, элементы (АВ)С имеют вид  (i=1, …, ; s=1, …, Поскольку , определено произведение ВС. Его элементы  (k=1,..., ).  Так как  , определено произведение А(ВС) с элементами (i=1, …,; Выражения (2) и (3) совпадают.

Предложение 3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению: если имеет смысл выражение А(В+С), то А(В+С)=АВ+АС, если имеет смысл выражение (В+С)А, то (B+С)А=ВА+СА.
Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую из них. Очевидно, что В и С должны иметь одинаковые размеры mn, а А – размеры рm (p может быть любым). Выпишем элементы матрицы А(В+С) через элементы А, В и С:  . Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены: . Эти суммы равны элементам матриц АВ и АС, стоящим в строке с номером s и столбце с номером j. Утверждение доказано.

Предложение 4. Если произведение АВ определено, то при любом числе  (АВ)=(А)В=А(В).

Предложение 5. Если определено произведение АВ, то определено и произведение  и выполнено равенство . Пусть матрицы А и В имеют, соответственно, размеры mn и np. В матрице АВ на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит элемент .  (4) j-я строка матрицы  состоит из элементов а i-й столбец матрицы  - из элементов . Поэтому произведение  определено, и в нем на пересечении j-й строки и i-го столбца стоит элемент   Он совпадает с элементом (4), а индексы i и j принимают в обоих выражениях одни и те же значения. Предположение доказано.

Последовательно применяя формулу: .

Обратная матрица

Определение. Матрицу Х назовем обратной для матрицы А, если ХА=АХ=Е, где Е – единичная матрица. Иметь обратную матрицу может только квадратная матрица.

Предложение 6. Если у матрицы А существует обратная, то она единственна. Допустим, что их нашлось две: . Тогда =

Предложение 7. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена. В силу того, что найдутся такие элементарные матрицы , что . Объединим все элементарные матрицы в один множитель Х. Для любой невырожденной матрицы А существует матрица Х такая, что ХА=Е. Докажем, что Х удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы. Для этого заметим, что Х невырождена как произведение элементарных матриц, и потому для нее существует такая матрица Y, что YX=E. Рассмотрим произведение Y(XA)=Y. При другой расстановке скобок мы видим, что (YX)A=A. Поэтому Y=A, и равенство YX=У переписывается как AX=E.

Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица А вырождена, т.е. существует нулевая линейная комбинация ее строк , причем  Тогда согласно предположению 1 произведение ненулевой строки v= на матрицу А – нулевая строка: vAX=oX. Таким образом, v=o, что противоречит определению v.

Основные свойства обратной матрицы:1) 2) , так как ==E. 3) Из A=E, получаем . Поэтому

Описание способа вычисления: составим матрицу D размеров n2n, приписав к матрице А справа единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк преобразуем D так, чтобы обратить ее левую половину в единичную матрицу. Тогда правая половина превратится в матрицу .

Теорема 1. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любой столбец высоты n раскладывается по столбцам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.

Док-во. Если матрица А невырождена, то у нее существует обратная, и мы можем написать равенство b=b. Из него видно,что столбец b получается умножением матрицы А на столбец b и, следовательно, является линейной комбинацией столбцов матрицы А.

Следствие. Пусть А – невырожденная матрица порядка n. Тогда любая строка длины n раскладывается по строкам А, причем коэффициенты разложения однозначно определены.