№11

Т. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д. Пусть - ограниченная последовательность. Тогда . Разобьем отрезок =[a,b] пополам точкой d. Тогда по крайней мере один из отрезков [a,d], [d,b] содержит бесконечно большое число членов последовательности . Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим , его длина равна . Разделив отрезок пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок , содержащий бесконечное число последовательности . Продолжая эти рассуждения, получим последовательность отрезков таких, что:

1) ;

2) при .

Значит, - стягивающаяся последовательность отрезков. По т.Кантора существует единственная точка c, принадлежащая всем отрезкам, т.е. (1). Покажем, что найдется подпоследовательность последовательности такая, что (3). Т.к. отрезок содержит бесконечное кол-во членов последовательности , то . То есть , где . Следовательно, существует подпоследовательность последовательности такая, что (2). Условия (2) и (4) означают, что точки c и принадлежат отрезку , и поэтому расстояние между ними не превосходит длины отрезка , т.е. (4). Т.к. - б.м.п., то из (4) следует, что справедливо утверждение (3).

Комментарии