19. Теорема о промежуточных значениях непрерывной ф-ции.

(Т. Коши о нулях непрерывной ф-ции) Если ф-ция непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков, т.е. , то на отрезке имеется хотя бы один нуль ф-ции , т.е..

Д. Разделим отрезок пополам. Пусть d – середина этого отрезка. Если , то теорема доказана, если , то в концах одного из отрезков ф-ция принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок . Пусть – середина отрезка . Возможно два случая:
1) , теорема доказана
2) , то в концах одного из отрезков ф-ция принимает значения разных знаков. Такой отрезок обозначим .

Продолжая эти рассуждения получим:
1) Либо через конечное число шагов найдется точка такая, что , тогда выполняется утверждение из теоремы.
2) Либо существует последовательность отрезков такая, что для всех , где . Это последовательность отрезков является стягивающейся, т.к. для любого и (19). По т. Кантора существует т. С, принадлежащая всем отрезкам последовательности , т.е. (20). Докажем, что (21). Предположим, что это равенство не выполняется. Тогда либо , либо . Пусть например .По св-ву сохранения непрерывной ф-цией знака (22). С другой стороны из нер-ва (19) следует, что при , и поэтому (23). Т.к. в силу условия (20), то из (23) следует, что и согласно условию (22) во всех точках отрезка ф-ция принимает положительные значения. Это противоречит тому, что в концах каждого из отрезков ф-ция принимает значения разных знаков. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие (21).

Комментарии