№3 Теорема об отделимости двух множеств действительных (вещественных) чисел.

Теорема. Если X и Y – непустые множества вещественных чисел такие, что для любого и любого справедливо неравенство , то существуют supX и infY, причем .

Доказательство. Так как X – непустое множество, ограниченное сверху любым элементом множества Y в силу , то по теореме о существовании точной верхней грани существует supX. Аналогично из ограниченности непустого множества Y снизу любым элементом множества X следует существование infY. По определению верхних граней , . Из следует, что каждое число является верхней гранью множества X. Следовательно . Отсюда следует, что supX есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, т.е. число infY, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит .

Комментарии