Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

(2)

где .

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что

(2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве определена сложная функция , причём

,

где , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке .●

Комментарии