13

Аксиоматика евклидова пространства.

Определение. Вещественное линейное пространство  называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y из  сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y)), и это соответствие удовлетворяет следующим требованиям, каковы бы ни были векторы x,  y и z и число :

1)    

2)    

3)    

4)      для всех .

Будем рассматривать  n-мерное евклидово пространство . Любое подпространство  в  - также евклидово пространство, так как для его векторов определено то же самое скалярное умножение.

Очевидны простейшие следствия из перечисленных аксиом. Так как , имеем

Аналогично доказывается

Можно дать второе определение евклидова пространства, эквивалентное первому.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нем задана положительно определенная квадратичная форма.

Из первого определения следует второе. Действительно, если в вещественном линейном пространстве определена операция скалярного умножения, то это – функция от двух векторов. Аксиомы 2) и 3) и формулы (1) и (2) равносильны тому, что функция билинейна. Аксиома 1) означает, что билинейная функция симметрична, а аксиома 4) – что соответствующая квадратичная форма положительно определена. Поскольку симметричная билинейная функция однозначно определяется соответствующей квадратичной формой, обратное утверждение столь же очевидно.

            Конечно, в вещественном линейном пространстве существует бесконечно много положительно определенных квадратичных форм. Во втором определении слово «задана» означает, что одна из них выделена и играет особую роль. Будем называть ее основной квадратичной формой.

Неравенство Коши-Буняковского

Доказывается как следствие из следующей теоремы:

            Теорема. Пусть  – произвольная, не обязательно линейно зависимая система векторов. Тогда детерминант матрицы, составленной из их попарных скалярных произведений,

положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

            Первое утверждение следует из предложения 2 (Детерминант матрицы Грама любого базиса положителен), так как линейно независимые векторы составляют базис в своей линейной оболочке.

            Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство , в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов. Мы придем к системе линейных уравнений

Которой удовлетворяют коэффициенты . Так как система имеет нетривиальное решение, детерминант её матрицы равен нулю.

            Следствие. Для любых двух векторов в евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского

причем оно выполнено как равенство тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Неравенство треугольника.

Из неравенства Коши-Буняковского следует еще одно важное неравенство, называемое неравенством треугольника,

Знак равенства имеет место, если , т.е. если угол между x и y равен нулю, и только в этом случае. Неравенство треугольника для векторов – направленных отрезков – означает, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон.

Матрица Грама.

            Если в евклидовом пространстве выбран базис е, то скалярное произведение векторов x и y, как и значение любой билинейной функции выражается через координатные столбцы  и  этих векторов:

Согласно определению матрицы билинейной функции элементы  матрицы Г равны скалярным произведениям , т.е.

Эта матрица называется матрицей Грама базиса e.

Матрица Грама симметрична и невырождена.