20. Унитарное пространство и его аксиоматика. Унитарные и эрмитовы матрицы. Унитарные и эрмитовы преобразования. Эрмитовы формы.

Определение. Комплексное линейное пространство называется унитарным (или эрмитовым) пространством, если задан закон, сопоставляющий каждым двум векторам x и у из комплексное число (x,y), называемое их скалярным произведением, и этот закон удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы x, у и z и число :

1) (х,у) = , т. е. при перестановке сомножителей скалярное произведение заменяется на комплексно сопряженное число;

2) (х,у) = (х,у);

3) (x+y,z) = (x,z) + (y,z);

4) (x,x)>0, если хо.

Определение. Матрица, удовлетворяющая равенству =E, называется унитарной.

Детерминант унитарной матрицы — комплексное число, по модулю равное 1.

Теорема. Для каждого линейного преобразования унитарного пространства существует ортонормированный базис, в котором его матрица — верхняя треугольная.

Самосопряженные и унитарные преобразования. Преобразование унитарного пространства называется самосопряженным, если для любых векторов х и у выполнено равенство (A(x),y)=(x,A(y)).

Из этого определения вытекает, что преобразование является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе эрмитова (Матрица B, для которой , называется эрмитовой).

Преобразование унитарного пространства такое, что (А(х),А(у)) = (х,у) для любых векторов х и у, называется унитарным преобразованием. Преобразование унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе унитарная.

Собственные значения унитарного преобразования по модулю равны единице.

Каждое унитарное преобразование имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Этим унитарные преобразования отличаются от ортогональных преобразований евклидова пространства.

Эрмитовы формы в унитарном пространстве. Рассмотрим в унитарном пространстве полуторалинейную форму b. Преобразование А этого пространства называется присоединенным к форме b, если b(х,у) = (х,А(у)) для любых векторов х и у. В ортонормированном базисе матрица присоединенного преобразования совпадает с матрицей, комплексно сопряженной матрице полуторалинейной формы b. Отсюда следует, что преобразование, присоединенное к эрмитовой форме, является самосопряженным. Теперь мы можем заключить, что для эрмитовой формы в унитарном пространстве найдется ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид с вещественными числами на диагонали.

Для двух эрмитовых форм, из которых одна положительно определенная, найдется базис, в котором они обе имеют диагональный вид.

Комментарии