12. Интегрируемость произведения двух интегрируемых на отрезке функций.

Теорема. Пусть функции f и g удовлетворяют следующим условиям:

1) f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b];

2) m,M: x[a,b]; (1)

3) функция g не меняет своего знака на отрезке [a,b], т.е. либо при (*), либо при (**). Тогда : =. (2)

Док-во: Пусть выполняется условие (*). Тогда из (1) следует, что x[a,b]mg(x)f(x)g(x)Mg(x). Так как функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b], то функция fg также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов:

. (3)

Заметим, что если =0, то из (3) следует, что =0, и поэтому (2) в этом случае выполняется при любом .

Пусть , тогда >0 в силу (*). Поэтому (3) равносильно: , где /. Отсюда следует равенство (2), где . Аналогично для случая (**), так как при замене g(x) на –g(x) равенство (2) сохраняется, ч.т.д.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) интегрируема на отрезке и не меняет знака, то

=.

В частности, если g(x)=1, то

=f(c)(b-a).

Комментарии