Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами.
Теорема
1. Если члены ряда
неотрицательны, т. е.
,
то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобы
последовательность его частичных сумм {
}
была ограничена сверху, т. е.
=
M
Признак сравнения.
Теорема
3. Если для всех
выполняется условие
,
то из сходимости ряда
(1)
следует сходимость ряда
(2),
а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).
Док-во. Из сходимости ряда (1) с неотрицательными членами по теореме 1 следует ограниченность сверху последовательности его частичных сумм, т. е.
M,
откуда,
используя условие
,
получаем
M
для всех
.
Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена сверху, и в силу теоремы 1 ряд (2) сходится.
Если ряд (2) расходится, то ряд (1) также должен расходиться, так как в случае сходимости ряда (1) сходился бы ряд (2).
Теорема
3 остается в силе, если условие выполняется при всех
,
где m
— заданный номер.
Следствие
1. Если
>0
и
>0
для всех
и
~
при
,
т. е.
=1,
то ряды (1)
и (2)
либо оба сходятся,
либо оба
расходятся.
Следствие
2. Если члены рядов (1) и (2) удовлетворяют при всех
условиям
>0,
>0,
,
то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из
расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).
Док-во. Полагая k=m,m+1 ,..., n -1 и перемножая соответствующие неравенства, получаем
...
...
или
,
откуда следует, что при всех
+1
выполняется неравенство
,
где А=
> 0. Для завершения доказательства следует применить теорему 3.