Признак Д'Аламбера.
Теорема
4. Пусть дан ряд
,
где
>0
для всех
(1).
Тогда
а)
если существует число q(0,1)
и номер m
такие, что для всех
выполняется неравенство
,
то ряд (1) сходится;
б)
если существует номер m
такой, что для всех
выполняется неравенство
то
ряд (1) расходится.
Док-во.
а) Из условия следует,
что
,
,
и поэтому
для любого
.
Так
как ряд
,
где 0<q<1,
сходится и
>0
при всех
,
то по признаку сравнения сходится ряд
(2),
откуда следует сходимость ряда (1), получаемого из ряда (2)
добавлением конечного числа членов
,...,
.
б)
Из условия следует, что
,
,
и т.д. Следовательно,
>
0 для всех
.
Поэтому
ряд (2), а вместе с ним и ряд (1) расходятся, так как в силу условия
выше
0
при
(не выполняется необходимое условие сходимости ряда). •
Следствие (признак Д'Аламбера "в предельной форме"). Если существует
,
то
ряд (1) с положительными членами сходится при
<1
и расходится при
>1.
Признак Коши.
Теорема
5. Пусть дан ряд
где
0
для всех
(3).
Тогда:
а)
если существуют число q(0,1)
и номер m
такие, что для всех
выполняется неравенство
,
то ряд (3) сходится;
б)
если существует номер m
такой, что для всех
выполняется неравенство
,
то ряд (3) расходится.
Док-во
а)
Из условия следует, что при всех
выполняется неравенство
,
где 0<q<1.
По признаку сравнения из сходимости ряда
следует сходимость ряда
.
Поэтому ряд (3) также сходится.
б)
Если
,
то
при всех
,
и поэтому ряд (3) расходится.
Следствие
(признак Коши "в предельной форме"). Если
(
)
и существует
,
то при
<1
ряд (3) сходится, а при
>1
расходится.