Интегральный признак сходимости ряда

Теорема 2. Если функция f неотрицательна и убывает на промежутке [1, +), то ряд (1) и интеграл J= (2) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Док-во. Обозначим =[k, k+1], где , и пусть .

Так как f — убывающая при х>1 функция, то она интегрируема на каждом из отрезков и для всех x удовлетворяет условию f(k+1)f(k), откуда в силу свойств интеграла получаем

f(k+1) f(k).

Пологая тут k=1,2, ...,n и складывая соответствующие неравенства, находим

или

.(3)

a) Пусть сходится интеграл (2), т.е. существует конечный . Так как f — неотрицательная функция, то для всех выполняется неравенство , и поэтому . (4)

Из (3) и (4) следует, что , т.е. последовательность частичных сумм ряда (1) с неотрицательными членами ограничена сверху. По теореме 1 ряд (1) сходится.

б) Обратно: если ряд (1) с неотрицательными членами сходится, а его сумма равна S, то (5).

Из (3) и (5) следует, то

.(6)

Для любого выберем таким, чтобы выполнялось условие n+1. Тогда из неравенства (6) и условия f(x)0 при х1 следует, что

,

и поэтому интеграл (2) сходится.

Комментарии