Интегральный признак сходимости ряда
Теорема
2. Если функция f
неотрицательна и убывает на промежутке [1, +),
то ряд
(1) и интеграл J=
(2) либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Док-во.
Обозначим
=[k,
k+1],
где
,
и пусть
.
Так
как f
— убывающая при
х>1
функция, то она интегрируема на каждом из отрезков
и для всех x
удовлетворяет условию f(k+1)
f(k),
откуда в силу свойств интеграла получаем
f(k+1)
f(k).
Пологая тут k=1,2, ...,n и складывая соответствующие неравенства, находим
или
.(3)
a)
Пусть сходится интеграл (2), т.е. существует конечный
.
Так как f
—
неотрицательная функция, то для всех
выполняется неравенство
,
и поэтому
.
(4)
Из
(3) и (4) следует, что
,
т.е. последовательность частичных сумм ряда (1) с неотрицательными
членами ограничена сверху. По теореме
1 ряд (1)
сходится.
б)
Обратно: если ряд (1) с неотрицательными членами сходится, а его
сумма равна S,
то
(5).
Из (3) и (5) следует, то
.(6)
Для
любого
выберем
таким, чтобы выполнялось условие n+1
.
Тогда из неравенства (6) и условия f(x)
0
при х
1
следует, что
,
и поэтому интеграл (2) сходится.