Свойство 4. Если ряд (1) абсолютно сходится, то и ряд (2), полученный перестановкой членов ряда (1), абсолютно сходится, причем сумма ряда (2) равна сумме S ряда (1).

Док-во.

а) Докажем, что ряд (2) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд (3).

Так как ряд (2) отличается от ряда (1) только порядком расположения членов, то

:.

Обозначим , . Тогда и для всех выполняется неравенство

A,

где A — сумма ряда . Отсюда по теореме 1 из вопроса 29 следует сходимость ряда (3).

б) Докажем, что S=.

Из сходимости рядов (1) и следует, что для любого >0 найдется номер N= такой, что для всех и для всех выполняются неравенства

< (5),

< (4).

Пусть — наибольший из номеров, которые члены ряда (1) имеют в ряде (2), т. е. = max (), где (k = ). Тогда .

Обозначим n-ю частную сумму ряда (2) через и покажем, что для всех n> выполняется неравенство |S-|<(7).

Так как для любого n> сумма = . содержит члены ряда (1) согласно выбору числа , то разность

==-,

где n> , может содержать лишь такие члены ряда (1), номера которых больше N.

Пусть N' — наибольший из номеров, которые имеют в ряде (1) члены ряда (2), входящие в при n >N, т. е. N' = max (), где (j = ). Тогда

N' = N+p, .

Поэтому разность представляет собой сумму таких членов (не обязательно всех) ряда (1), номера которых больше N, но не превосходят N' = N + р. Следовательно,

<(6).

в силу условия (4).

Из равенства S — = S — — ( — ) = S — — в силу (5) и (6) следует, что для всех выполняется неравенство (7). Это означает, что =S, т. е. справедливо равенство S=.

Комментарии