35. Признак Дирихле сходимости числовых рядов.
Ряд сходится, если последовательность
частичных сумм ряда
ограниченна, т.е.
M(2), а последовательность
монотонно стремится к нулю, т.е.
(3) для всех n
N или
(3’) для всех n
N и
.
Покажем, что для ряда (1) выполняется
условие Коши. Введем следующие обозначения (5),
n
N, p
N (6). Преобразуем σ, учитывая, что
при k>1,
согласно формуле (5). Получим σ=
, где
=
.
Поэтому σ=
+
(7).
Если справедливо неравенство (3), то из
формулы (7) и условия (2) следует, что |σ+
,
где
≤
Таким образом, для всех nN и для всех p
N выполняется неравенство |σ
(8). Условие (8) остается в силе, если
заменить (3) условием (3’). Условие (4) означает, что
(9), а из (6), (8) и (9) следует, что
, т.е. ряд (1) удовлетворяет условию
Коши. Следовательно, этот ряд сходится.•