Почленное дифференцирование функциональных рядов.
Теорема. Если ф-ции
,
имеют
непрерывные производные на отрезке [a;b], ряд
(1)
сх-ся равномерно на отрезке [a;b], а ряд
(2)
сх-ся хотя бы в одной точке
[a;b],
т.е. сх-ся ряд
,
то ряд(2) сх-ся равномерно на отрезке [a;b] и
его можно почленно дифференцировать, то есть S'(x)=
(3),
где S(x)=
(4).
Док-во: Обозначим(х)=
(сумма ряда (1)). Этот ряд можно почленно интегрировать :
=
(5),
где
,
х принадлежит отрезку [a;b], а ряд (5)
равномерно сх-ся на [a;b]. Так как
=
(x)-
,
то
=
(6),
где
(x)=
(x)-
(7).
Ряд(6) сх-ся равномерно, а ряд (2) сх-ся(а значит и равномерно
сх-ся на [a;b]), поэтому ряд (1)
сх-ся равномерно на [a;b]. Из (6),
(7) и (3) следует:
=S(x)-S(
)
(8). Т.к. ф-ция
(t)
непрерывна на [a;b], то в силу
свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть рав-ва
(8) имеет производную, равную
(х).
След-но, правая часть (8) — дифференцируемая ф-ция, а её
производная равна S'(x). Доказано, что
(
х)=S'(x),
то есть справедливо рав-во (3) для всех х из отрезка [a;b].