42. Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425
Функциональные
ряды вида
,
где
(n=1,2,…)
и a–заданные
комплексные числа,
-комплексное
переменное, называют степенными рядами, а числа
-коэффициентами
степенного ряда (1). Полагая в (1) z=
-а,
получим ряд
(2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию
сходимости ряда (1).
Теорема 1 (Абеля) .
Если степенной ряд (2) сходится при z=0,
то он сходится, и притом абсолютно, при любом z
таком, что |z|<|
|;
а если этот ряд расходится при z=
0,
то он расходится при всяком z,
для которого |z|>|
|.
а) Пусть
={z:
| z|<|
|}-
круг на комплексной плоскости с центром в точке О радиуса |
|,
и пусть z – произвольная точка
круга
,
т.е. |z|<|
|,
поэтому q=|z/
|<1.
(3) Так как ряд (2) сходится в точке
,
то должно выполняться условие
,
откуда следует ограниченность последовательности {
},т.е.
M.
Используя неравенство (3) и (4), получаем |
|=|
|*|
z/
M
,
где
.
(5) Так как ряд
,
где
,
сходится, то по признаку сравнения сходится ряд
,т.е.
ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга
.
б) Пусть ряд (2)
расходится в точке
.
Тогда он должен расходиться в любой точке
такой, что |
|<|
|,
так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в
точке
.
Теорема 2. Для всякого
степенного ряда (2) существует R(-число
или
)
такое, что: а) если
и
,
то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z:
|z|<R}и
расходится вне круга K; этот круг называют
кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом
сходимости ряда;
б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;
в) если
,
то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.
Теорема 3 (Абеля). Если
R-радиус сходимости степенного ряда (2),
причем
,
и если этот ряд сходится z=R,
то он сходится равномерно на отрезке [0,R],
а его сумма непрерывна на этом отрезке.
Теорема 4. Если
существует конечный или бесконечный
,
то для радиуса R сходимости ряда (2)
справедлива формула 1/R=
,
а если существует конечный и бесконечный
,
то R=
.
0,
.