43. Единственность представления функции степенным рядом.
Введем понятие
регулярной функции. Пусть в каждой точке
,
где Е – множество точек комплексной плоскости,
поставлено в соответствие комплексное число w.
На множестве Е определена функция комплексного переменного,
w=f(z).
Если
>0
>0:
:
|z-a|<
|f(z)-f(a)|<
,
то функцию f(z)
называют непрерывной в точке а.
Функция комплексного
переменного f(z)
называется регулярной в точке а, если она определена в некоторой
окрестности точки а и представима в некотором круге |z-a|<,
>0,
сходящимся к f(z)
степенным рядом
.
(*)
Теорема. Функция f(z), регулярная в точке а, единственным образом представляется рядом (*)
Док-во: Пусть функция
f(z)
имеет два представления в виде степенного ряда в круге K={z:
|z-a|<},
где
>0,
т.е.
f(z)==
.
(*)
Теперь докажем, что
=
для n=0,1,2,…
По условию ряды
и
сходятся в круге K, и поэтому эти
ряды сходятся равномерно в круге
,
а их общая сумма – непрерывная в круге
функция. В частности, функция f(z)
непрерывна в точке а. Подходя к пределу при
в
равенстве (*), получаем
=
.
Отбрасывая одинаковые слагаемые
и
в равенстве (*), получаем после деления на z-a
равенство
+
(z-a)+
+…=
+
(z-a)+
+…,
которое справедливо в
круге K с выколотой точкой a.
Ряды в левой и правой части сходятся равномерно в круге
.Переходя
в равенстве к пределу при
,
получаем
=
.
Справедливость равенства
=
при любом n устанавливается с
помощью индукции.