Остаточный член в формуле Тейлора.
Пусть функция f(x)
бесконечно дифференцируема в точке . Тогда ей можно поставить в соответствие
ряд
(1). Обозначим
(5)
(6)
и назовём остаточным членом формулы Тейлора для
функции f в точке
. Если существует
(7)
то согласно определению сходимости ряда ряд (1) сходится к функции f(x) в точке x, т.е.
f(x)=.
(8)
Т е о р е м а
1. Если функции f(x), f'(x),…, непрерывны на интервале
, где
, то для любого
остаточный член формулы Тейлора для
функции f в точке
можно представить:
а) в интегральной форме
(t)dt (9)
б) в форме Лагранжа
,
(10)
где принадлежит
интервалу с концами
и x.
○ Формула(10)
была доказана в 18.
Докажем формулу (9) методом индукции. В силу равенств (5) и (6) нужно показать,
что
f(x)-=
+
(t)dt (11)
Воспользуемся
равенством f'(t)dt=f(x)-
и
преобразуем его левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:
f'(t)d(x-t) = [-f'(x)(x-t)]
=
(x-t)f''(t)dt .
Таким образом,
f(x)-(x-t)f''(t)dt,
т.е. формула (11) верна при n=1. Предположим, что формула (11) является верной для номера n-1, т.е.
f(x)- (t)dt.
(12)
Преобразуем интеграл в правой части формулы (12), применив формулу интегрирования по частям:
(t)dt=-
=
+
=
+
Отсюда следует, что равенство (12) можно записать в виде (11). Формула (9) доказана. ●