Волновое уравнение как следствие уравнений Максвелла

Пусть волна бежит без поглощения (jE = lE^2=0 => l=0 - диэлектрик).

Допустим, что эл. зарядов нет. Ур. Максвелла: rot H = D'/c, rot E = -B'/c, div D

= 0, div B = 0.

Если все величины зависят только от x и t, то dH_z/dx = -1/c dD_y/dt, dH_y/dx= 1/c dD_z/dt, dE_y/dx = -1/c dB_z/dt, dE_z/dx = 1/c dB_y/dt, dD_x/dx = dD_x/dt = dB_x/dx = dB_x/dt = 0.

D_x, B_x не зависят от x и t, могут быть отброшены.

D = eE, B = mH; dH/dx = -e/c dE/dt, dE_dx = -m/c dH/dt. E||OY, H||OZ. d2E/dx2 - 1/v^2*d2E/dt2 = 0, d2H/dx2 - 1/v^2*d2H/dt2 = 0, где v = c/sqrt(em).

E и H удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению => возмущение состоит из плоских волн вдоль X со скоростью v.

Плоские электромагнитные волны в однородной среде.

Скорость распространения. Связь полей В и Е в плоской электромагнитной волне. Поперечность электромагнитных волн.

Из уравнений Максвелла следует существование э/м волн. Они распространяются в пространстве с определенной скоростью, которую можно находить.

Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскую поверхность в среде (e, m - проницаемости), совпадающую с XY. Поле нормально к плоскости и равно E = 2pi sigma/e. При движении вдоль оси Х нормальная составляющая не поменяется (можно добавить неподвижную плоскость, заряженную противоположно), а магнитное поле и поперечная составляющая эл. поля появятся! В случае поверхностного тока на плоскости магнитное поле параллельно Y: при z>0 течет в положительную сторону Y и наоборот. Эл. поле будет параллельно Y. Если остановить плоскость, э/м возмущения

(волны) будут распространяться в обе стороны от нее.

Возьмем два контура - OAMN и OQPA (OA||Z, ON||X, OQ||Y, AM=1). Запишем ур.Максвелла: sum(OAMN) E dl = -1/c dФ_м/dt, sum(OQPA) H dl = 1/c dФ_эл/dt, E = E_x = -1/c dФ_м dt, H = H_y = -1/c dФ_эл/dt. За время dt потоки изменятся на dФ_м=-vBdt, dФ_эл=-vD dt => dФ_м/dt=-vB, dФ_эл/dt=-vD =>

E = v/c * B, H = v/c * D. Векторно E = -1/c [vB], H = 1/c [vD].

Если применить уравнения D = eE, B = mH, получим E = v/c*mH, H = v/c*eE => v = c/sqrt(em).

В вакууме e=m=1, v=c, т.е. электродинамическая постоянная равна скорости света в вакууме.

Комментарии