Отражение и преломление электромагнитных волн на плоской границе двух диэлектриков

Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через плоскую границу двух диэлектрических сред I и II (одной из них может, в частности, быть и вакуум). Направление электрического и магнитного векторов соответствует правилу, согласно которому k, E, В образуют правую тройку. Мы использовали в качестве магнитного вектора Н, поскольку именно для него будем писать соответствующее граничное условие. Результаты, которые мы получим, можно переносить и на случай искривленной поверхности раздела. Она лишь должна быть гладкой, а радиус кривизны ее должен многократно превосходить характерный пространственный масштаб электромагнитного поля — длину волны. Таким образом мы опишем действие на электромагнитную волну, в частности, поверхности линзы. Все расчеты линз, тонких и толстых, а также и сложных оптических систем базируются именно на законе преломления. Мы будем пользоваться не понятием луча, принятым в геометрической оптике, а более корректным с точки зрения электродинамики понятием волнового фронта; «лучи» — падающий, отраженный и преломленный, представляют в наших терминах нормали к волновому фронту, направление которых задается вектором k.

Пусть показатели преломления сред I и II равны, соответственно, n1, n2 (в вакууме — просто единице).

Вопрос, на который целесообразно ответить заранее: правомерно ли разделение постановки задачи именно на эти два случая? Не могут ли возникнуть отраженные либо преломленные волны с поляризацией, ортогональной таковой в падающей волне? Ответ: не могут, и это прямое следствие уравнений Максвелла и граничных условий. В силу линейности задачи, мы можем расщепить решение уравнений Максвелла на два линейно независимых, соответствующих двум различным поляризациям. Выбирая решение с одной из поляризаций — той же, что и у падающей волны, мы оперируем с полями трех волн, что позволяет выполнить граничные условия. При попытке выполнить их для другой поляризации нам опять «не хватит» переменных, т. к. в нашем распоряжении будут только две волны, без падающей, так что единственным возможным решением с такой поляризацией окажется нулевое поле. Разумеется, эти рассуждения находятся в полном соответствии с экспериментальными данными.

Для случая а (H вниз, E вперед) E1 = E2 => E_i + E_r = E_d. Для случая б (H вперед, Е вверх) H1 = H2 => H_i + H_r = H_d. Далее для случая б будет аналогично, поэтому рассматриваем а.

Пусть в какой-то момент времени граничное условие выполнено. Однако оно сразу же

нарушится, если зависимость от времени не будет одинаковой для всех трех полей. Это означает, что частота всех трех волн должна быть одинаковой (и действительно, отражение от прозрачной среды и преломление в ней «сохраняют цвет»). Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату х. Из поперечности волн и параллельности векторов Еi, Еr, Еd следует, что все три волновых вектора k_i, k_r, k_d лежат в одной плоскости — плоскости падения. Вдоль оси Ох произведения kr вырождаются в k_x*х. Таким образом, граничное условие при равных частотах сводится к следующему: E_i0*exp(ikx sin f) + E_r0 exp(ikx sin f') = Е_d0 exp(k'x sin psi). Мы учли, что из равенства частот для падающей и отраженной волн следует равенство волновых чисел. Для преломленной волны волновое число k' определяется определяется какой-то формулой. Теперь потребуем, чтобы наше граничное условие выполнялось в любой точке оси Ох. Для этого необходимо, чтобы экспоненциальные множители были тождественно равны друг другу, а значит, равны должны быть их аргументы: k sin f = k sin f' = k(n2/n1) sin psi.

Таким образом, f=f'; sin f/sin psi = n = n2/n1. n = sqrt(em).

Формулы Френеля. Коэффициенты отражения и прозрачности. Полное внутреннее отражение. Понятие о неоднородных волнах

Для простоты положим на мю (m=1), n1=1, n2=n. E_r0 = rE_i0, E_d0 = tE_i0. Если получается отрицательно, надо сдвинуть на пи.

H ~ nE. Для случая а имеем [E_t]=0 =>Ei+Er=Ed; [H_t]=0 =>

Hi cos f + Hr cos f = -Hd cos psi => -Ei cos f+Er cos fi = -n*Ed cos psi;

1+r=t; (1-r) cos f = t(sin f/sin psi) cos psi => r = sin(fi-psi)/sin(fi+psi); t = 2sin psi cosfi/sin(fi+psi).

Для случая б: [Et]=0 => Ei cos fi - Er cos fi = Ed cos psi; [Ht]=0 => Hi+Hr=Hd => Ei+Er=sin fi/sin psi*Ed.

t = sin fi/sin psi*(1+r); cos fi/cos psi*(1-r)=sin fi/sin psi*(1+r).

r = tg(fi-psi)/tg(fi+psi); t = 2sin psi cos fi / sin(fi+psi)cos(fi-psi).

При нормальном падении - коэф. отражения и прозрачности r0 = (n-1)/(n+1); t0 = 2/(n+1).

Полное внутреннее отражение: sin f > n2/n1.

Угол Брюстера

Особый интерес представляет возможность полной поляризации отраженного света при fi+psi=pi/2 — при этом r_|| = 0. Это означает, что в отраженном свете вектор Е строго перпендикулярен плоскости падения. Находим соответствующий угол падения fi_B = arctg n. Этот угол называется углом Брюстера. Заметим, что максимальная поляризация отраженного света не соответствует максимальной поляризации преломленного. Еще отметим следующее обстоятельство. Если диэлектрическая пластинка освещается белым светом, то угол Брюстера будет разным для волн разной частоты.

Комментарии