Система Orphus

Изопериметрическая задача (без доказательства).

Пусть функции F(x,y,p) и G(x,y,p) - заданы и дважды непрерывно дифференцируемы для \forall x\in[a,b] и \forall (y ,p) \in \mathbb{R}^2. Рассмотрим интеграл

J(y)=\int_{a}^{b}F(x, y(x), y'(x))dx

на множестве функций

M=\left\{y(x): y(a)=A, y(b)=B, K(y)=\int_{a}^{b}G[x, y(x), y'(x)]dx=l\right\},

где A,B,l - заданные числа.

Чтобы установить необходимое условие решения изопериметрической задачи, введем в рассмотрение функцию, называемую лагранжианом.

L = F(x,y,y') + λG(x,y,y')

Теорема.Пусть \hat{y}(x) является решением изопериметрической задачи и пусть вариация \delta K(\hat{y}, \eta(x))\ne 0 для всех \eta(x)\in \dot{C}^1[a,b] . Тогда найдется такой множитель Лагранжа λ, что \hat{y}(x) необходимо на [a,b] удовлетворяет уравнения Эйлера вида

\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0

Система Orphus

Комментарии