Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Пусть f — объемная сила в расчете на одну частицу. Выделим в газе элемент объема толщиной dz и площадью основания S. В этом элементе находится dN = nSdz частиц, где п — объемная плотность числа частиц. Условие механического равновесия слоя имеет вид

f_z dN + P(z)dS - P(z+dz)S = 0,

или

дельта Р/дельта z = f_z n.

Пусть сила f является потенциальной, f = - grad u(r), f_z = -дu/dz. Тогда для идеального газа (Р = nkТ) при Т = const отсюда следует

Рґ(ln P)/Рґz = - Рґ/Рґz (u/(kT)) => P = P0 exp(-u/kT)

(начало отсчета выбрано так, что Р = Ро при u = 0). Для частного случая однородного поля тяжести f = mg потенциальная энергия равна u = -mgr = mgz. Тогда

P = P0 exp(-mgz/kT).

Это соотношение называется барометрической формулой. Поскольку Р = nkТ, то распределение плотности числа частиц п идеального газа в потенциальном поле имеет вид

n = n0 exp(-u/kT).

Это распределение дает средние значения плотности, поскольку состояние равновесия динамическое и возможны отклонения от среднего (флуктуации) в какие-то моменты времени. Для числа частиц, находящихся в элементе объема dV

dN = n0 exp(-u/kT) dV.

Последние два соотношения называются распределением Больцмана.

Барометрическая формула справедлива, только если температура газа всюду постоянна, Т = const. Если же это условие не выполняется, то распределение плотности по объему газа может оказаться существенно иным: в однородном поле тяжести из уравнения механического равновесия дР/дz = -mgP/kT следует

P = P0 exp{-mg sum(0,z) [dz1/(kT(z1))]}

Соответственно для различных профилей температуры получаем различные распределения давления по пространству.