Нахождение среднего значения энергии, среднего квадрата энергии и дисперсии (среднеквадратичной флуктуации) энергии частицы

Согласно Максвелловскому закону распределения скоростей

<e> = 1/Z (интеграл) e exp(-альфа e) dГ,

где альфа = 1/kT, dГ - элементы объёма пространства скоростей, а Z определяется условием нормировки

Z = (интеграл) exp(-альфа e)dГ

Дифференцируя это соотношение по параметру альфа, получим

dZ/d альфа = -e (интеграл) exp(-альфа e) dГ

Получим

<e> = -1/Z dZ/d альфа

Отсюда

d<e>/d альфа = -1/Z d^2Z/d альфа^2 + 1/Z^2(dZ/d альфа)^2 = -1/Z d^2Z/d альфа^2 + e^2

Аналогично,

<e^2> = 1/Z (интеграл) e^2 exp(-альфа e)dГ = 1/Z d^2 Z/d альфа^2

<delta e^2> = <e^2> - <e>^2 = -d<e>/d альфа

Подставим альфа = 1/kT

<delta e^2> = kT^2 d<e>/dT

В случае идеального одноатомного газа:

<e> = 1/n (интеграл от нуля до бесконечности) e n 2/sqrt(pi (kT)^3) exp(-e/kT) sqrt(e) de = 3/2 kT

<delta e^2> = 3/2 (kT)^2

<e^2> = 15/4 (kT)^2