Флуктуации и распределение Гаусса

Флуктуациями называются случайные отклонения физических величин от их средних значений.

Пусть f - некоторая случайная величина, а <f> - ее среднее значение. Тогда флуктуация есть Дf = f - <f>. Согласно определению, <Дf> = 0. Величина сигма=sqrt(<Дf>^2) называется среднеквадратичной флуктуацией. сигма^2 есть не что иное, как дисперсия случайной величины Дf. sigma^2 = <f^2 - <f>^2>.

Величина дельта_f = sqrt(<Дf>^2)/ <f> называется относительной среднеквадратичной флуктуацией.

Во многих практически важных случаях флуктуации x === Дf физических величин имеют гауссово распределение вероятностей: Домега(х) = 1/sqrt(2pi sigma^2) * exp (-x^2/(2sigma^2)) dx. При этом <x>=, а <x^2>=sigma^2.

Это можно пояснить следующим способом. Как было установлено выше, вероятность макросостояния W ~ exp(S/k). Рассмотрим зависимость энтропии S от какого-нибудь термодинамического параметра f. В состоянии термодинамического равновесия этот параметр принимает значение <f>, а энтропия максимальна. Если в результат флуктуации параметр f отклоняется от своего среднего значения, то соответствующее изменение энтропии можно представить в виде

S(f) = Smax - ax^2, x=f-<f>, a=1/2 S" |_(f=<f>).

Подстановка этого разложения в формулу для вероятности приводит к соотношению W ~ exp(-bx^2), которое представляет собой гауссово распределение.

Флуктуации температуры в заданном объёме

Пусть подсистема отделена от внешней среды жесткой теплопроводящей оболочкой. Дисперсия энергии подсистемы дается формулой

<(ДЕ)^2> = kT^2 d<E>/dT, где <E> - средняя энергия подсистемы. При фиксированном объеме величина d<E>/dT имеет смысл теплоемкости Cv посистемы, так что полученную формулу можно переписать в виде

<(ДЕ)^2> = kT^2 Cv. Пуcть в результате случайных процессов в подсистму поступило некоторое количество системы дQ. В результате температура изменилась на ДТ = ДQ/Cv. Отсюда следует:

<(ДТ)_v ^2> = <(ДQ)^2>/Cv^2. Величину sqrt(<(ДQ)^2>) можно интерпретировать как среднеквадратичную флуктуацию энергии подсистемы, т.е. <(ДQ)^2>= <(ДЕ)^2>. В результате приходим к выражению для флуктуации температуры

<(ДТ)_v ^2> = <(ДЕ)^2> / Cv^2 = kT^2 / Cv.