Эффективное сечение столкновений молекул. Длина свободного пробега. Распределение молекул по длинам свободного пробега

Во многих процессах частицы можно считать твёрдыми шариками диаметра d. Частица сталкивается с другой частицей, если растояние между их центрами не превышает d. Поэтому можно определить эффективное газокинетическое сечение молекулы. как площадь поперечного сечения цилиндра радусом, равному максимальному расстоянию между центрами сталкивающихся молекул, то есть, сигма = pi d^2: молекулы заимодествуют, если центр какой-либо молекулы попадает в этот цилиндр. За время тау молекула, обладающая скоростью <v>, пролетит путь l = <v> тау. Объём цилиндра с поперечным сечением сигма равен V = сигма l. При плотности молекул в газе n в этом цилиндре находится n сигма l частиц. Хотя бы одно столкновение произойдёт при условии, что n сигма l = 1, то есть, если длина цилиндра l = 1/(n сигма). Эта величина называется длиной свободного пробега молекулы, а соответствующее время тау = 1/(n <v> сигма) - временем свободного пробега.

Распределение молекул по длинам свободного пробега

Пусть эффективное сечение молекул равно сигма. Рассмотрим цилидр длиной l и сечением сигма в направлении движения молекулы, где l - свободный пробег этой молекулы до столкновния. Найдём вероятность того, что в объёме цилиндрика сечения сигма и длины dl окажется одна молекула (то есть, вероятность того, что свободный пробег этой молекулы будет l), а до этого не окажется ни одной.

Согласно распределению Гаусса

w(N)dN = 1/sqrt(2 pi <N>) exp[-(N - <N>)^2/2<N>]

n - концентрация.

W = (1 - 1/sqrt(2 pi n cРёРіРјР° dl) exp[-(0 - n СЃРёРіРјР° dl)^2/2(n СЃРёРіРјР° dl)]) * 1/sqrt(2 pi n cРёРіРјР° l) exp[-(0 - n СЃРёРіРјР° l)^2/2(n СЃРёРіРјР° l)]