Билет 45.
Поперечные деформации, коэффициент Пуассона. Модуль всестороннего сжатия.
Опыт показывает, что под действием растягвающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры тела.
Если а(о) - начальные поперечный размер. а - конечный размер.
Δа = а - а(о) < 0 при F - растягивающей
Δа / а(о) ~ Δa / a - относительное изменение поперечника
Δa / a = - μ Δl / l = - μ * T / E
μ = - (Δa / a) / (Δl / l)
μ - коэффициент Пуассона (звисит только от материала тела)
E и μ полностью характеризуют упругие свойства материала.
Всестороннее (сжатие) растяжение параллелепипеда.
Изотропное тело - приложены силы F(x), F(y), F(z) соотнтственно или натяжения Т(x), Т(y), Т(z).
Малые деформации + принцип суперпозиции.
Система уравнений:
ε (x) = Δx / x = T(x) / E - μ (T(y) + T(z)) / E
ε (y) = Δy / y = T(y) / E - μ (T(x) + T(z)) / E
ε (z) = Δz / z = T(z) / E - μ (T(x) + T(y)) / E
Работа при квазистатическом растжении по х
A(1) = A(x) = 1/2 S(x) T(x) = 1/2 xyz T(x) * Δx / x = 1/2 * V * T(x) * ε (x)
{S(x) = yz
xyz = V
Δx / x = ε (x)}
A(2) = A(y) = 1/2 * V * T(y) * ε (y)
A(3) = A(z) = 1/2 * V * T(z) * ε (z)
u (объемная плотность) = (A(1) + A(2) + A(3)) / V = 1/2 (T(x) * ε (x) + T(y) * ε (y) + T(z) * ε (z)) = 1/2E [ T(x) ^ 2 + T(y)^2 + T(z)^2 - 2μ ( T(x)*T(y) + T(x)*T(z) + T(y)*T(z) ) ]
Частный случай: Т(x) = Т(y) = Т(z).
ε (x) = ε (y) = ε (z) = T (1 - 2μ) / E
Как изменяется объем
ΔV / V = Δ(ln V) = Δ (ln (xyz) ) = Δx / x + Δy / y + Δz / z = ε (x) + ε (y) + ε (z) - 3P (1 - 2μ) / E для тел любой формы.
а) при сжатии ΔV < 0 => 1 - 2μ > 0 => μ < 1/2 - универсальное ограничение
μ -> 1/2 у полимеров
μ -> 0 для потистых тел } опытнный факт
у поликристалов 1/4 < μ < 1/2
б) ΔV / V = - P / K, где K = E / 3 (1 - 2μ) - модуль всестороннего сжатия
U = 1/2E (3 T^2 - 2 μ * 3 T^2) = 3T^2 (1 - 2μ) / 2E = T^2 / 2K
