Определение вязкости воздуха по скорости течения через тонкие трубки

Рассмотрим стационарный поток жидкости, ламинарно текущей через капилляр круглого сечения. Мысленно выделим в жидкости цилиндр радиуса r и длины l. Обозначим давление на его торцах ччерез P1 и Р2. В стационарных условиях сила давления на цилиндр (Р1-Р2)пи r^2 уравновешивается силой трения, действующей на цилиндр во второны наружных слоев жидкости. Касательное наряжение в жидкости, как и в газе, равно тау=-эта dv/dr. Полная сила трения F_тр = S эта dv/dr, где S - поверхность цилиндра, эта - вязкость, dv/dr - градиент скорости. Заменяя S через 2pi rl и приравнивая нулю сумму сил, действующих на цилиндр, получим

(P1-P2)pi r^2 + 2pi rl эта dv/dr = 0.

�нтегрируя равенство, найдем

v = - (P1-P2)/(4l эта)*r^2 + C,

где C - константа интегрирования, которая должна быть найдена из граничных условий. Для ее определения заметим, что скорость жидкости обращается в нуль при радиусе трубки R, где жидкость "прилипает" к стенкам. �меем, следовательно:

v = (P1 - P2)/(4l эта)*(R^2 - r^2).

Таким образом, скорость жидкости квадратично меняется с радиусом и максимальна на оси трубки (при r=0).

Расход жидкости Q, т.е. объем, ежесекундно протекающий через поперечное сечение трубки, равен

Q = V/t = sum(0,R) (v*2 pi r) dr = pi*(P1-P2)/(8l эта)*R^4 - формула Пуазейля.

При небольших скоростях жидкости движение среды происходит как бы слоями, обладающими разными скоростями. Такое течение называется ламинарным. С увеличением скорости потока движение приобретает сложный и запутанный характер, слои перемешиваются, течение становится турбулентным. При этом скорость в каждой точке быстро меняет величину и направление, сохраняется только ее средняя величина.

Характер течения газа или жидкости зависит от соотношения между кинетической энергией движущейся среды и работой сил вязкости. Если первая величина мала по сравнению со второй, то турбулентные ульсации не развиваются, их подавляет вязкость и течение остается ламинарным. Отношение кинетической энергии некоторого объема газа или жидкости ро v^2L к работе вязких сил на характерной длине эта v/L L^2*L определяет безразмерное число Рейнольдса:

Re = v*l*ро/эта,

где v - характрная скорость течения (напр., средняя по расходу), l - радиус трубки (характерный размер), ро - плотность, эта - коэффициент вязкости.

Re = (2ро v^2/2) / (эта v/l),

т.е. Re - удвоенное отношение скоростного напора (Е_кин единицы объема среды) к характерному напряжению трения газа или жидкости: эта v/R. Скоростной напор (динамическое давление) согласно уравнению Бернулли равен разнице между давлением в области с v=0 и давлением в потоке с v.

В гладких трубах круглого сечения ереход от ламинарного движения к турбулентному происходит при Re = ок.1000. Ламинарное движение при переходе из сосуда в капилляр устанавливается через расстояние а = 0,2*l*Re.