Определение Cр / Cv методом адиабатического расширения газа

Установка

Сосуд с краном и жидкостный манометр избыточного давления. Давление подается резиновой грушей. В начале опыта в сосуде находится газ при комнатной температуре и избыточном давлении P1. После открытия крана, соединяющего сосуд с атмосферой, давление и температура будут понижаться (примерно адиабатически). Приближение основано на том, что равновесие в газах по давлению устанавливается намного быстрее, чем равновесие по температуре. Кран нужно открывать на время Дt_P << Дt << Дt_T.

�з уравнения адиабаты (1 - после повышения давления и выравнивания температуры, 2 - после открытия крана и выравнивания давления)

(P1/P2)^(Рі-1) = (T1/T2)^Рі.

P2 = P0. После закрытия крана происходит процесс изохорического нагревания. По закону Гей-Люссака P2/T2 = P3/T3 = P3/T1;

(P3/P2)^Рі = (P1/P2)^(Рі-1). P2 = P0, Рі = ln(P1/P0) / ln(P1/P3).

�змерение манометром: P1 = P0 + pgh1, P3 = P0 + pgh2 (p-плотность). После разложения логарифмов г ~= h1/(h1+h2).

Время вытекания газа

Оценим время выравнивания давления, пренебрегая вязкостью газа. После открытия крана по газу со скоростью звука (с) будет распространяться волна разрежения и через время L/c она достигнет дна. Через несколько таких интервалов процес вытекания установится. Скорость истечения можно рассчитать по уравнению Бернулли для несжимаемой среды, поскольку изменением плотности допустимо пренебречь:

v = sqrt (2(P - P0)/СЂРѕ_0)

За время dt из сосуда через отверстие площадью S вытечет масса газа ро_0 S v dt.

В сосуде объёма V0 давление за это же время снизится на dP и масса уменьшится на dm = V0 d ро = V0/c^2 dP, где с^2 = (дельта Р/дельта ро)_S - определение адиабатической скорости звука.

Составив баланс вытекающей массы и остающейся в сосуде, получим

dP/sqrt(P-P0) = -sqrt(2 СЂРѕ_0)*S c^2 /V0 dt

t_P = V0/Sc sqrt(2(P - P0)/(Рі P0))

t_P = 0,1 c.

При малых временах открытия крана (меньше одной секунды) результаты отдельных измерений заметно отличаются друг от друга. При увеличении времени увеличивается теплообмен. Следствием является уменьшение давления Р3 и занижение значения г.

Нагревание газа от стенок сосуда

Время выравнивания давления - примерно 0,5 с. Нагревание приближённо можно считать одномерным, так как глубина прогревания значительно меньше размеров сосуда. Процесс описывается уравнением теплопроводности.

Коэффициент температуропроводности Х(хи^^) = х(каппа)/(ро С_р), где х - коэффициент теплопроводности. [X(хи)] = м^2/с

Решением уравнения теплопроводности может быть функция только от одного безразмерного параметра z^2/(X(хи)t), z - координата. так как в распределении температуры нет постоянных с размерностью длины. При z^2/(X(хи)t) = 1 в точном решении задачи о нагревании полупространства температура равна примерно среднему значению между постоянной температурой горячей стенки и температурой первоначально холодной теплопроводящей среды. Это значение z можно использовать для оценки толщины сло газа, нагревшегося от стенки сосуда при предполагаемом его адиабатическом охлаждении. Для t = 0,5 с, Х(хи)=0,19 см^2/с глубина нагревания составит z = 0,3 см.при радиусе сосуда r = 12,5 см доля неохлаждённого воздуха составит 2 pi r z/(pi r^2) = 5% от массы газа в сосуде. Следовательно, давление Р3 и величина h2 будут во столько же раз меньше, что приведёт к уменьшению величины г в h2/(h1 - h2) * 0,05 раз. Приведённая оценка ошибки может быть несколько уменьшена, если учесть охлаждение стеклянных стенок сосуда.