Сказать "Спасибо"

(old)

Дифференциальное уравнение вида

$y^{(n)}(x)+a_1y^{(n-1)}(x)+...+a_{n-1}y'(x)+a_ny(x)=0~~~~~(1)$

где $x\in \mathbb{R}$ и $a 1,..., a n$ - заданные действительные или комплексные числа, называют линейным однородным дифференциальным уравнением порядка $n$ с постоянными коэффициентами.

$L (D) = D n + a 1 D n - 1 + ... + a n - 1 D + a n$ - дифференциальный многочлен степени $n$ .

уравнение (1) можно записать в виде

L (D) y (x) = 0

Общее решение

Принцип суперпозиции.Если $y 1 (x)$ , $y 2 (x)$ - какие-либо решения уравнения (1) и $C 1, C 2$ - произвольные комплексные числа, то функция $y = C 1 y 1 + C 2 y 2$ также является решением уравнения (1).

Теорема. Пусть характеристическое уравнение $L (λ) = 0$ имеет корни $λ 1,...,λ m$ соответственно кратности $k 1,..., k m$ (k_1+...+k_m=n). Тогда:

a)любая функция вида

$y(x)=P_1(x)e^{\lambda_1x}+...+P_m(x)e^{\lambda_mx}~~~~~~(4)$ ,

где

$P_j(x)=C_0^j+C_1^jx+...+C_{k_j-1}^jx^{k_j-1}$ - многочлен степени $(k j - 1)$ , коэффициентами которого служат произвольные комплексные постоянные $C_0^j,...,C_{k_j-1}^j$ , является решением уравнения (1).

б)если $y (x)$ - какое-либо решение уравнения (1), то найдется единственный набор коэффициентов многочленов $P 1 (x),..., P m (x)$ , при еотором это решение задается формулой (4).

a) теоремы немедленно следует из леммы 3 и принципа суперпозиции для уравнения (1)

б)докажем методом математической индукции по n.

При $n = 1$ уравнение (1) имеет вид линейного однородного уравнения первого порядка для которого ранее уже было найдено решение $y=Ce^{-a_1x}$ .

Пусть теперь $n > 1$ и пусть всякое решение $y (x)$ линейного однородного уравнения порядка $(n - 1)$ единственным образом записывается в виде (4).

В силу условий теормы

$L(D)=(D-\lambda_1)^{k_1}....(D-\lambda_m)^{k_m}$

введем новый дифференциальный многочлен степени $(n - 1)$

$M(D)=(D-\lambda_1)^{k_1-1}....(D-\lambda_m)^{k_m}$

положим $(D - λ 1) y = z$ . В таком случае уравнение (2) эквивалентно системе

$\left\{\begin{array}{rcl}(D-\lambda_1)y=z \\& &~~~~~~~~~~~~~~(2)\\M(D)z=0\end{array} \right.$

по выведенной ранее формуле первое уравнение в системе имеет решение

$y=e^{\lambda_1x}\left(C+\int e^{-\lambda_1x}z(x)dx\right)$

можно показать, что если $z (x)$ можно представить в виде (4), то и этот интеграл представим в виде (4).

Сказать "Спасибо"

(old)

Комментарии